π, imprescindible y fascinante número para describir la Naturaleza

La Ciencia, la Historia y el Conocimiento encargaron a Euler que constituyera el Olimpo de los Números y sin dudarlo creó su Identidad eiπ+ 1 = 0 considerada la igualdad más bella de las matemáticas. Relaciona los cinco números más importantes de la historia de las matemáticas: el 0 y el 1 elementos neutros para la adición y el producto respectivamente, la aparición estelar de π, la unidad imaginaria i (la raíz cuadrada de -1) y el número de Euler e que, como π, es otro número irracional y trascendente que aparece en numerosas situaciones matemáticas. Así se presentó en el frontispicio de la Academia de las Ciencias de París. El summum de la belleza, el no va más... y para siempre.

¿Qué tiene de especial el número π que ha fascinado a la humanidad desde hace más de 3.900 años? Podemos definir π como la razón de la longitud de una circunferencia a su diámetro (o como la medida del área de un círculo de radio unidad), un número cercano a 3,14159. Y esto ya es sorprendente: no importa cuál sea el tamaño del círculo, mínimo o gigante, esta razón siempre será la misma. Desde la Antigüedad, el ser humano debió de darse cuenta de que cualquier rueda o aro, al dar una vuelta, avanza una longitud que es algo más del triple de su diámetro. Los babilonios y los egipcios, en el papiro de Rhind, ya calcularon valores para π próximos a 3,14. Incluso la Biblia de Jerusalén en el Segundo libro de las crónicas (4:2-5) en la que aparece en una lista de requerimientos para la construcción del Gran Templo de Salomón, construido sobre el 950 a. C. dice:

«Hizo el Mar de metal fundido (bronce), de diez codos de borde a borde. Era enteramente redondo y de cinco codos de alto. Un cordón de treinta codos medía su contorno.»

La cita bíblica da 3 como valor de π, lo que supone una notable pérdida de precisión respecto de las anteriores estimaciones egipcia y mesopotámica.

Pero fue Arquímedes quien, hacia el 250 a.C., mediante un ingenioso método geométrico, llamado de exhaución, afinó las estimaciones y acotó el valor de π entre las dos fracciones: 223/71 y 22/7. En el siglo II, Claudio Ptolomeo proporciona un valor fraccionario por aproximaciones: 377/120=3,1416... El símbolo con el que se representa π viene de «perímetro» que en griego, περιφέρεια ππɛρɩφέρɛɩɑ (periphereia), comienza con esa letra.

Y es que π es un número irracional. Esto significa que no puede expresarse mediante una fracción, por tanto no tiene un número limitado de decimales como, por ejemplo, le sucede al número 1/8=0,125, que solo tiene tres decimales; ni tampoco sus decimales se hacen repetitivos como le sucede, por ejemplo al número 1/6=0,166666... A pesar del billón largo de decimales que se conocen de π, nadie ha encontrado en ellos un patrón ordenado. Una vez el Nobel de Física Richard Feynman se asomó a la infinitud de π para darse cuenta de que en su desarrollo había una curiosa ristra de seis nueves seguidos, eso ocurría en el punto 762 y se llama «punto Feynman». ¿en qué punto estarán las nueve cifras de tu teléfono móvil? Una pregunta aún más atrevida sería: ¿cualquier cadena numérica finita estará contenida en el desarrollo decimal de π?

Además de irracional, π es un número transcendente (o no algebraico). Esto significa que no puede ser solución de una ecuación algebraica con coeficientes racionales, es decir, π nunca podría ser la solución de una ecuación del tipo P(x)=0.

El número π aparece en las situaciones matemáticas más inesperadas. Por ejemplo, Leibniz en 1673 demostró que el resultado de esta serie infinita de sumas y restas: 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9-... es exactamente π/4. Por otro lado, la serie infinita 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + .... suma π2/6. El genio hindú de las matemáticas, Ramanujan, retratado en la emocionante película El hombre que conocía el infinito, vivió cautivado por π durante toda su corta existencia. Ramanujan no tenía formación académica, pero a los 13 años ya formuló sus primeros teoremas y a los 26 (en 1913) dejó asombrados a los profesores de Cambridge (Hardy, Litthewood, Russell;...) con su intuición absolutamente prodigiosa plasmada en 400 páginas de fórmulas y teoremas. Este genio desarrolló cientos de métodos para estimar el valor de π de manera cada vez más aproximada. Algunas de estas fórmulas no han podido ser demostradas hasta hace tan solo unos años y, sin embargo, siguen utilizándose hoy para encontrar con ordenadores esos billones de decimales de π.

Se diría que π es imprescindible en la descripción de la naturaleza. Aparece en la mayoría de las ecuaciones que rigen el comportamiento del Universo. Por ejemplo, en el periodo de oscilación de un péndulo, en la tercera ley de Kepler que determina el movimiento de los planetas, en la ley de Coulomb de la fuerza eléctrica, en la permeabilidad magnética del vacío, en las ecuaciones de la relatividad general de Einstein, en el principio de incertidumbre enunciado por Heisenberg en la mecánica cuántica. También, en muchas cuestiones vinculadas a la probabilidad (la aguja de Buffon) o la estadística, como podrían ser el reparto o distribución de la estatura, el coeficiente intelectual, los errores instrumentales de los telescopios, la intensidad de un láser, por poner sólo unos ejemplos, tropezamos con la llamada campana de Gauss o curva normal. Corresponde a una distribución de probabilidad que tiene una curva de densidad en la que π interviene de un modo decisivo.

π parece omnipresente en el mundo, esa omnipresencia de π π nos lleva a preguntarnos por la importancia de los números en general en el Universo, por el significado de las Matemáticas. ¿Son una creación de nuestra mente? ¿son simplemente un lenguaje inventado por el ser humano para describir el mundo?. En suma: las Matemáticas, ¿se inventan o se descubren? Ellas, con esos conjuntos infinitos de números y ese olimpo de Euler, con π de vedette, pasan a jugar un papel muy profundo, parecen expresar las propiedades más fundamentales de lo real. Las Matemáticas quizás constituyan la última quintaesencia del Universo. O, tal y como pensó Pitágoras, «Todo es número».

PD. ¿Cómo se me quedó la cara al ver a π en los entresijos de la «trompeta de Torricelli»?, que es una figura que tiene una capacidad finita, pero no hay pintura en el mundo para cubrir su superficie. Es como si un recipiente se pudiera llenar de pintura roja y no hubiera pintura roja para pintar sus paredes.

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