A finales del S. XIX se clarificaban los conceptos principales del Análisis Matemático, cuya noción central es la de función y las relacionadas de límite, continuidad, derivada, integral? En ese proceso surgieron nuevas disciplinas como la Teoría de Conjuntos, la Topología General y el Álgebra Lineal, y en el ámbito propio del Análisis se estudiaban las ecuaciones diferenciales e integrales. Resultó muy útil trabajar con espacios de infinitas dimensiones cuyos "puntos" eran funciones. El Análisis Funcional nace para estudiar esos espacios y las transformaciones entre ellos.
D. Hilbert (1862-1943) estudió un espacio cuyos 'puntos' son sucesiones, generalización natural de los usuales de dos y tres dimensiones. Otros matemáticos pensaron en espacios de funciones que llamaron 'de Hilbert', con un papel destacado en la Mecánica Cuántica.
Gracias al trabajo de matemáticos franceses, especialmente de H. Lebesgue (1875-1941), surgió la Teoría de la Medida, que permitió ampliar la noción de integral y la consideración de más espacios de funciones.
Un salto hacia la abstracción fue dado por S. Banach (18921945), con los conocidos como "espacios de Banach". Los "espacios vectoriales topológicos", más generales aún, fueron utilizados por L. Schwartz (19152002), matemático francés que recibió la Medalla Fields en 1950, para elaborar la Teoría de las Distribuciones, que ofrece soluciones a ecuaciones físicas.
El Análisis Funcional mantiene una intensa actividad investigadora, en la que participan diferentes grupos españoles. Manuel Valdivia (1928-2014) jugó un papel destacado en su desarrollo.
