Santa Cruz de Tenerife
CIENCIA

Caos natural

Adrián Báez Ortega
23/sep/17 9:54 AM
eldia.es

Los patrones compuestos de ramificaciones cada vez más pequeñas son muy comunes en la naturaleza; algunos ejemplos son (en sentido de las agujas del reloj, desde la esquina superior izquierda): plantas, ríos, bronquios pulmonares y vasos sanguíneos. /Imagen: Catherine Macbride; Jassen Todorov; Guzel Studio; Inozemtsev Konstantin./

En cierto modo, el movimiento de los cuerpos celestiales se asemeja al de un colosal dispositivo mecánico. Las estrellas y planetas siguen órbitas que pueden ser descritas de forma precisa por ecuaciones matemáticas, de modo que, conociendo sus posiciones en un instante dado, podemos vaticinar sus posiciones en cualquier momento futuro. Ésta es la base de nuestra capacidad para predecir fases lunares, eclipses de sol y de luna, lluvias de estrellas y otros fenómenos astronómicos. Quizá no deba sorprendernos el que, hasta hace bastante poco, la ciencia interpretara el universo entero de esta forma, como una gran máquina regida por procesos mecánicos, predecibles. Esta postura se conoce como determinismo, ya que, según ella, el futuro está absolutamente predeterminado por ecuaciones matemáticas, tal que nada permanecería aleatorio o impredecible si pudiéramos descifrar estas ecuaciones. Tal pensamiento quedó perfectamente expresado en palabras del prominente matemático del siglo XVIII Pierre-Simon Laplace, quien escribió:

“Un intelecto el cual, en un cierto momento, conociera todas las fuerzas que dan movimiento a la naturaleza, y todas las posiciones de todos los elementos de los que la naturaleza está compuesta, si este intelecto fuera también lo suficientemente vasto como para someter estos datos a análisis, abarcaría en una sola fórmula los movimientos de los mayores cuerpos del universo y los del átomo más pequeño; para tal intelecto, nada sería incierto, y el futuro, tal como el pasado, estaría presente ante sus ojos”.

Gráfica que representa la evolución del tamaño de una población, descrito por la ecuación logística, durante 50 generaciones, para los valores iniciales 0,27 (superior, en azul) y 0,270001 (inferior, en rojo). El sistema sigue la misma evolución durante las primeras 23 generaciones; pasado este punto (línea discontinua), el sistema muestra comportamientos diferentes en cada caso. Por tanto, con un valor inicial de 0,27 es imposible predecir el sistema si el verdadero valor inicial no es exactamente 0,27, lo que se conoce como comportamiento caótico./

Por muy elegante que esto pueda sonar, a lo largo de la segunda mitad del siglo pasado la comunidad científica vio cada vez con mayor claridad que el universo no se comporta de este modo. Varios procesos naturales fueron descubiertos, los cuales, pese a que podían ser perfectamente descritos matemáticamente, mostraban un comportamiento que era, a todas luces, imposible de pronosticar.
Durante las décadas siguientes, estos y otros desconcertantes descubrimientos nos llevaron a comprender que la imprevisibilidad es una propiedad intrínseca del universo; no sólo esto, sino que es precisamente esta propiedad la que dota a la materia inanimada de la habilidad de autoorganizarse en las complejas formas y estructuras de la naturaleza. La inexplicable fuerza responsable de la imprevisibilidad del mundo recibió el que es, de hecho, un nombre muy popular: caos.

Aunque el término caos es comúnmente un sinónimo de desorden o vorágine, su significado matemático es más concreto. En un sistema completamente descrito por ecuaciones matemáticas determinísticas, sin ningún componente desconocido o aleatorio, el caos es la propiedad que dota a este sistema de la capacidad de comportarse impredeciblemente. En otras palabras, incluso si conocemos perfectamente el estado del sistema en un momento dado, así como las ecuaciones que describen la evolución del sistema, es imposible predecir el comportamiento futuro del mismo.
Uno de los primeros en describir un sistema con comportamiento caótico fue el meteorólogo Edward Lorenz, quien, a principios de los sesenta, estaba intentando modelar el tiempo atmosférico mediante matemáticas. El pensamiento dominante de la época era que el tiempo era un fenómeno determinístico y, por tanto, podía ser pronosticado mediante ecuaciones. Pero una vez que Lorenz hubo escrito un conjunto de ecuaciones que describía la dinámica de masas de aire, se encontró con que éste no conducía a predicción útil alguna. Lo que su sistema parecía sufrir, en cambio, era una sensibilidad extrema a la más ligera variación en sus condiciones de inicio; estos cambios, aunque al principio fueran minúsculos, eran rápidamente amplificados a lo largo del sistema conforme éste evolucionaba, haciéndolo desviarse de su curso predicho y llevando a resultados absolutamente inesperados.

Lorenz presentó sus hallazgos en una charla titulada “¿Desencadena el aleteo de una mariposa en Brasil un tornado en Texas?”. Este concepto pronto capturó la imaginación popular, dando origen a la célebre expresión “el efecto mariposa”.

Lo que los resultados de Lorenz implican es que, incluso si deberíamos, en teoría, poder predecir el tiempo midiendo una serie de variables (tales como presión atmosférica, temperatura, humedad, velocidad del viento, etc.) y resolviendo las ecuaciones que describen la evolución de las condiciones atmosféricas, la realidad es que estas ecuaciones son tan sensibles a cambios infinitesimales en sus valores iniciales que nunca seremos capaces de medir las variables que necesitamos con suficiente precisión como para predecir el tiempo de forma fiable por más de unos días. Resulta que el efecto mariposa, es decir, la alta sensibilidad a las condiciones de inicio, es una marca distintiva de los sistemas caóticos.

El efecto mariposa es más fácil de entender gracias a un fenómeno más sencillo que el tiempo atmosférico. En los años setenta, el biólogo Robert May estaba trabajando en una ecuación para modelar los cambios en poblaciones de animales a lo largo de las generaciones. Esta ecuación se conoce hoy como la ecuación logística, y es verdaderamente simple. Dado un valor, Tamaño Actual, el cual representa el tamaño actual de una población en relación a su tamaño máximo posible (por ejemplo, un valor de 0,5 significa que la población tiene la mitad del tamaño máximo), usando la ecuación logística, podemos averiguar fácilmente el tamaño que tendrá la población en la siguiente generación, al que llamaremos Tamaño Futuro:

Tamaño Futuro = 3,7 × Tamaño Actual × (1 – Tamaño Actual).
El valor 3,7 en esta ecuación es arbitrario, y tan adecuado para nuestros propósitos como casi cualquier otro valor entre 3,6 y 4. Dada esta ecuación, si el tamaño actual de la población, Tamaño Actual, fuera, por ejemplo, 0,27 (el 27% del tamaño máximo), entonces el tamaño en la próxima generación sería:
Tamaño Futuro = 3,7 × 0,27 × (1 – 0,27) = 3,7 × 0,27 × 0,73 ˜ 0,729.

La ecuación logística es tan simple como parece, y aun así posee una propiedad que comparten todos los sistemas caóticos: retroalimentación. En otras palabras, el resultado de la ecuación (en este caso, 0,729) es introducido de nuevo en la ecuación, dado que este valor se convertirá en el nuevo Tamaño Actual cuando intentemos determinar el tamaño de la población en la generación siguiente (el nuevo Tamaño Futuro). Debido a que el tamaño de la población en cada generación depende del tamaño en la generación anterior, es fácil ver que incluso la variación más minúscula en nuestro valor inicial se expandirá a medida que resolvemos la ecuación para más y más generaciones futuras. Si el valor inicial del sistema es una cantidad real que debe ser medida, esto implica que nunca podremos medirla con la suficiente precisión como para poder predecir sus futuros valores indefinidamente. Pero cuanto mayor precisión logremos en nuestras mediciones, por más tiempo podremos predecir fiablemente el comportamiento del sistema.

Con objeto de ilustrar el comportamiento caótico de la ecuación logística, usaremos de nuevo el valor 0,27 como nuestro valor inicial del Tamaño Actual. Podemos usar este valor para calcular el Tamaño Futuro, que se convertirá a continuación en el nuevo Tamaño Actual, y repetir este proceso por muchas generaciones, haciendo uso de la ecuación logística en cada paso.

Ahora, imaginemos que no hemos medido el tamaño inicial de la población con precisión absoluta, y que el auténtico tamaño inicial no era 0,27, sino 0,270001 (esto supone un cambio de sólo un 0,00037% en el valor de inicio). En tal caso, resulta que con nuestro impreciso valor inicial de 0,27 solamente seremos capaces de predecir el tamaño futuro de la población durante veintitrés generaciones, y no más. Tras la vigesimotercera generación, el sistema no se ceñirá a nuestras predicciones, por lo que decimos que se comporta caóticamente pasado este punto.

El caos no es en absoluto un fenómeno extraño; en realidad, está presente en todas partes, desde el clima hasta los sistemas vivientes, pasando por el mercado de valores. El mundo está inevitablemente inmerso en la imprevisibilidad; por otra parte, el hecho de que el caos esté tan infiltrado en el tejido del universo es lo que ha hecho a la naturaleza capaz de dar lugar a los asombrosos diseños que vemos a nuestro alrededor, desde la forma de las nubes hasta la estructura de nuestro sistema circulatorio. Pues, tal como un visionario matemático llamado Benoît Mandelbrot descubrió en los setenta, el caos es esencial para un tipo especial de geometría, el cual es capaz de describir las formas rugosas e irregulares de la naturaleza. Mandelbrot era consciente de que la geometría euclídea, que se interesa por las formas perfectas, tales como líneas, triángulos y esferas, no sirve para explicar el mundo físico que nos rodea; pues ni las montañas son triángulos, ni las nubes son esferas. La naturaleza parece tener preferencia por formas característicamente rugosas, imperfectas, y antes de Mandelbrot nadie sabía cómo medir y describir tal rugosidad. La nueva geometría de Mandelbrot, la geometría fractal, fue una de las mayores revoluciones matemáticas del siglo XX.

Mandelbrot intuyó que existe una propiedad común a casi todas las formas naturales, algo llamado autosemejanza. Ésta se puede describir como la propiedad por la que un objeto se compone de partes que se asemejan a versiones más pequeñas del objeto completo. Cuanto más de cerca observamos las montañas, los árboles, las nubes y las olas del mar, más y más detalle somos capaces de ver, y este nuevo detalle repite siempre un patrón geométrico similar. Una rama de un árbol se asemeja a un árbol pequeño, tal como una roca se asemeja a una montaña pequeña, dependiendo tan sólo de cómo de cerca las observemos.

Increíblemente, el patrón de ramificaciones cada vez más pequeñas adoptado por las plantas está también presente en la estructura de nuestros vasos sanguíneos, nuestros nervios y nuestros pulmones, por citar sólo algunos.

Mandelbrot descubrió que este tipo de formas irregulares y autosemejantes, a las cuales denominó fractales, son descritas por sencillas ecuaciones matemáticas que poseen la propiedad de retroalimentación, tal como la ecuación logística de May y el modelo atmosférico de Lorenz. Esto desencadenó un avance prodigioso: el entendimiento de que el caos es la fuerza detrás de la increíble habilidad de la naturaleza para generar la multitud de complicadas estructuras y patrones que encontramos en el mundo. El caos es la propiedad que otorga a las reglas matemáticas más simples el poder para dar lugar, espontáneamente, a sistemas inimaginablemente complejos. Nuestra noción intuitiva de la complejidad como algo que no puede emerger súbitamente a partir de algo mucho más simple, sino que implica necesariamente un proceso de diseño complejo, incluso consciente, necesita ser replanteada. Porque la naturaleza es, al mismo tiempo, maravillosamente complicada y maravillosamente simple.

Referencias:
–The Secret Life of Chaos. BBC (2010).
–Butterflies, Chaos and Fractals. Ponencia por el Prof. Raymond Flood, Gresham College (2013). https://youtu.be/tWsHs9ntm40.
–Benoît Mandelbrot. The Fractal Geometry of Nature (Henry Holt & Co., 1982).